Sudoku Solver

Auflistung aller Einzelschritte inklusive genauer Erklärungen und Punkte-Bewertung - mit Einzelzahl-Ketten, Goldenen Ketten und Ausschluss-Ketten (-Rechtecken und -Schleifen); und mit offensichtlichen 2-Tupeln und mit Anzeigen aller Alternativen auch beim Ausdünnen

Stand: 30. April 2012   Vorheriger Stand der Software (Februar/März 2012)

Geben Sie die Ausgangszahlen ein (1..9)

Prinzipen zur Lösung von Sudokus

Die Zeilen und Spalten werden hier von oben links an mit 1 bis 9 durchnummeriert, die Boxen werden mit OL (oben links), OM (oben Mitte), OR (oben rechts), ML (Mitte links), MM (Mitte Mitte), ..., bis UR (unten rechts) bezeichnet. Die benutzten Lösungsverfahren werden oft kurz mit mit A bis F bezeichnet, die zusätzliche Ziffer danach bezeichnet eine Untergruppe, dabei steht z.B. 1 für Zeile oder 3 für Box.

Dieses Programm benutzt 6 Lösungsmethoden mit verschiedener Punkte-Gewichtung, und ebenfalls 6 Gruppen von Analysemethoden für die Ausdünnung (ebenfalls mit unterschiedlichen Punkten gewichtet). Dabei wird beim Ausdünnen im nicht-synchronen Verfahren nach einem Treffer immer wieder bei der einfachsten Methode begonnen. Im synchronen Fall werden alle möglichen Treffer gesucht und dargestellt, was den Vorteil hat, dass man alle Möglichkeiten auf einmal sieht und auch erkennt, wie viele es davon gibt (wobei es bei sehr wenigen Treffern Extra-Punkte gibt); allerdings liegt die Punkte-Bewertung im synchronen Fall oft um einiges höher als im nicht-synchronen Fall, weil viele der gefundenen Ausdünnschritte eventuell gar nicht notwendig sind.

Bei der Lösung und der Bewertung wird davon ausgegangen, dass zuerst versucht wird, das Sudoku ohne Anschreiben der Kandidaten (Reste) zu lösen, da beim Arbeiten mit Hand dies zuerst einmal der natürliche Weg ist - im Gegensatz zu den sonst üblichen, im Internet zu findenden Sudoku-Solvern (z.B. HoDoKu, SudokuExplainer, Sudoku Solver by Andrew Stuart), die sofort alle möglichen Kandidaten für alle Zellen aufschreiben! Es kommen also zuerst nur die direkten Methoden A, B, C und D (C und D optional) zum Einsatz. Erst dann, wenn man damit nicht weiter kommt, muss man für jede Zelle alle Zahlen aufschreiben, die dafür in Frage kommen: die Kandidaten, die hier als Ganzes oft Rest genannt und auch der Einfachheit halber als eine mehrstellige Zahl (ohne Komma oder andere Trennzeichen) geschrieben werden - und das ist per Hand einiges an Arbeit (dafür gibt es auch extra Punkte). Danach versucht man, diese Reste so lange auszudünnen, also zu verkürzen, bis man zu einer eindeutigen Lösung für eine Zelle kommt (Methoden E und F). Dieses Ausdünnen (Kandidaten-Reduzierung) wird hier mit den wichtigsten 6 Methoden versucht, die weiter unten erklärt werden.

Es gibt noch vielleicht 30 bis 40 weitere Ausdünn-Methoden, die aber im Allgemeinen wenig zusätzliche Lösungen bringen und auch oft ziemlich kompliziert sind (z.B. Long String Kite oder 3D-Medusa) bzw. nahe einem Trial&Error-Verfahren liegen (Almost Locked Sets Chain, Forcing Chain, Forcing Net). Alle Sudokus können mit den hier programmierten (und wohl wichtigsten) Verfahren - die eigentlich auch gut nachvollziehbar und erlernbar sind - nicht gelöst werden, aber das ist sowieso nur etwas für Spezialisten. Dieses Programm soll nicht ein Sudoku einfach lösen, sondern alle Lösungsschritte zum Nachvollziehen aufzeigen.

Bemerkungen zur Bewertung: Normalerweise gibt es in einem Sudoku in einem bestimmten Zustand mehrere Möglichkeiten, Zahlen zu finden bzw. Kandidaten auszudünnen. Aber es kommt auch vor, dass es nur 1 oder 2 oder 3 Möglichkeiten gibt: Das wird dann mit Extra-Punkten bewertet. Gibt es nur genau einen (mit diesem Programm gefundenen) Schritt, sind das 20 Extra-Punkte, bei zwei Schritten 10 und bei drei Schritten 5 Extra-Punkte.

Bemerkungen zum Paar-Begriff: Die Sudoku-Literatur ist da nicht ganz einheitlich. In diesem Programm wird als Paar eine Zelle mit zwei Kandidaten bezeichnet (eine Goldene Kette besteht z.B. aus der Verkettung von Paaren), eine Zelle mit drei Kandidaten wäre dann ein Trio usw.. Betrachtet man aber die Einheit von zwei verschiedenen Zellen, wird das hier als Doppel (2-Tupel) bezeichnet, bei drei Zellen ist das ein Tripel (3-Tupel) usw., auch wenn der Inhalt der Zellen ein Paar, Trio o.a. ist (bei N-Tupeln kann ein Tripel sowohl aus Zellen mit Paaren als auch Trios bestehen).

Programm-Neuigkeiten

• Nach einer Verbeserung des Programmteils für die Ausschluss-Schleifen, die dadurch mehr Treffer fanden und schneller wurden, wurde nun auch nach 10er-, 12er-, 14er- und 16er-Ausschluss-Schleifen gesucht - und tatsächlich über 100 Sudokus gefunden! Allerdings ist der Rechenaufwand dann dadurch etwas höher, weswegen diese Methode nur als "allerweitestgehende" angeboten wird (April/Mai 2012).
• Die Bestimmung der 2- und 3-Tupel wurde an den Anfang der Ausdünnschritte gesetzt, weil diese einfacher zu sehen sind und damit auch unnötige Zeilen-/Spalten-Test- bzw. Box-Test-Aussagen erspart werden. Zusätzlich wurden die Ketten in 2 bzw. 3 Gruppen je nach ihrer Länge aufgeteilt, wodurch es möglich wurde, die Berechnung der Reihenfolge der Schwierigkeit anzupassen (Idee nach Edgar Kiefhaber). Die Optionen wurden neu definiert und verfeinert: Um die Bewertung der Schwierigkeit eines Sudokus mit einbeziehen zu können, werden bei der optionalen pseudo-synchronen Version bis zu 4 Ausdünnschritte gesucht, aber nur der erste Schritt wird angezeigt und eingesetzt; dadurch können Extra-Punkte vergeben werden (dies ist dadurch aber einiges aufwändiger). Bei den echten synchronen Methoden werden - optional - nur noch die Ausdünnschritte gesucht, die einer bestimmten Schwierigkeit zugeordnet werden können, falls das möglich ist - andernfalls werden die der nächsthöheren Schwierigkeitsstufe (in insgesamt 4 Stufen) versucht. Außerdem kann man festlegen, ob man keine, einfache (also kurze) oder komplexe (also alle) offensichtliche Zeilen-/Spalten-Tests und 2-Tupel berechnet haben will, ob man keine oder alle Alternativen angezeigt haben will und ob die Ausdünnschritte ohne oder mit Kandidaten-Angabe gezeigt werden sollen. Weiterhin kann nun das eingegebene Sudoku mit anderen Optionen und/oder veränderten Zahlen noch einmal gerechnet werden - dazu gibt es am Ende der Lösung einen entsprechenden Link (Februar/März 2012).
• Neben mehreren Verbesserungen, Korrekturen und Erweiterungen (insbesondere bei den offensichtlichen 2-Tupeln und den Quasi-Ausschluss-Rechtecken - dort auch bei der Darstellung) wurde auch die Auto-Tab-Möglichkeit eingebaut, wodurch das explizite Weitergehen zum nachfolgenden Feld entfällt. Insgesamt konnten nun fast 994000 einfache Sudokus und über 119000 komplexe Sudokus gelöst werden - nur noch 101500 Sudokus können nicht berechnet werden (Januar/Februar 2012).
• Die 6 Untertypen bei den Ausschluss-Rechtecken Typ 7 laut http://home.arcor.de/r.sudogu/r_tec/UniqueRectangle.html wurden eingebaut. Die Programmierung der Quasi-Ausschluss-Rechtecke wurde erweitert; dabei wurden auch die bisher getrennt behandelten Vermeidbaren Ausschluss-Rechtecke mit einbezogen. Insgesamt werden nun mehr Quasi-Ausschluss-Rechtecke gefunden als vorher (insbesondere die drei im nachfolgenden Punkt erwähnten Sudokus) - und dabei auch etwas schneller. N-Tupel und der Typ 3 mit den Quasi-N-Tupeln wurde allgemein verbessert. Die offensichtlichen Zeilen-/Spalten-Tests (Methode C) wurden verbessert. Außerdem wurden Fehler bei der Bewertungs-Berechnung korrigiert (Oktober/November 2011).
• Das Programm wurde so umgestellt, dass zu einem gegebenen Sudoku nun auch alle gleichzeitig auffindbaren Ausdünnschritte ermittelt werden (durch Radio-Button aber abwählbar). Damit ist man unabhängig von einer bestimmten Reihenfolge und sieht gleichzeitig auch, wie viele verschiedene Ausdünnschritte es gibt, um bestimmte Kandidaten streichen zu können; das erlaubt zusätzlich auch eine bessere Analyse, welche Arten von Ausdünnschritten wie häufig benutzt werden. Die Punkte-Bewertung ist dann aber etwas anders, da sie pro gestrichenem Kandidaten und nicht pro Ausdünn-Methode gerechnet wird.

  Der Vorteil der synchronen Berechnung liegt auch darin, dass man die Schwierigkeit eines Sudokus auch daran erkennen kann, dass an einer bestimmten Stelle oft nur ein einziger oder sehr wenige Einsetzschritte (Lösungsmethoden A bis D) bzw. nur ein einziger oder sehr wenige Ausdünnschritte gefunden werden - was durch bis zu 20 Extra-Punkte belohnt wird. Beispiele:
  Mit 12 Fällen - ohne Ausdünnen: 000000000000001002034000050000006300005000040200017000000800090100050000600000000
  Mit 10 Fällen - ohne Ausdünnen, dabei 1 Mal 20 Punkte beim Einsetzen: 000000089050780000080003004030805600001000000070034200000200050002067000000000300
  Mit 6+3 Fällen - dabei 3 Mal 20 Punkte beim Einsetzen und 1 Mal beim Ausdünnen: 000470000080020005007006900042700000010090070000000830209600100800040060000052000
  Mit 4 Fällen - dabei 2 Mal 20 Punkte beim Ausdünnen: 000000000000001002003040050000000006000000207005030000000087090020900000160000000

  Da alle gleichzeitig gefundenen Ausdünnschritte in einer einzigen Sudoku-Tabelle dargestellt werden, musste auf die direkte Einzelinformationen verzichtet werden; diese bekommt man aber genauestens dargestellt, wenn man auf den Methoden-Text klickt (als Link hier nicht unterstrichen, da sonst alles unterstrichen und unlesbar geworden wäre). Es kann durch Radio-Buttons vorgegeben werden, ob man ohne oder mit offensichtlichen Zeilen-/Spalten-Tests und 2-Tupeln, ohne oder mit synchroner Ausdünnschritt-Bestimmung, und ohne oder mit langen Einzelzahl- (ohne: max. Länge 12), Goldenen (ohne: max. Länge 13), Ausschluss-Ketten (ohne: max. Länge 6) rechnen will - die kurzen Ketten reichen zur Lösung im Allgemeinen aus und verringern aber die Rechenzeit erheblich (August 2011).

• In etwa 12 Tagen wurden etwa 113700 nicht-triviale Sudokus (mit im Allgemeinen 17 bzw. 22-36 Zahlen) nach den aktuellen synchronen Ausdünn-Methoden und mit langen Ketten berechnet und statistisch analysiert (26 Millionen Zeilen Gesamtausgabe). Einige Ergebnisse (Juli 2011):
  
  • Etwa die Hälfte (49%) der Gesamtrechenzeit entfiel auf die 8er-Ausschluss-Schleifen, 28% auf die Goldenen Ketten, 11% auf die 6er-Ausschluss-Schleifen und 7.5% auf die Einzelzahl-Ketten.
  • Die dazu gehörenden gefundenen Ausdünnschritte lagen aber in einem ganz anderen Verhältnis: 207 Sudokus mit 352 8er-Ausschluss-Schleifen (0.01%), 71500 Sudokus mit 1423000 Goldenen Ketten (37%), 2650 Sudokus mit 5910 6er-Ausschluss-Schleifen (0.15%) und 72300 Sudokus mit 789000 Einzelzahl-Ketten (20.5%) - bei insgesamt 3840000 Ausdünnschritten, bei denen 2298000 Kandidaten gestrichen werden konnten.
  • Aus den geringen Anzahlen der 6er- und 8er-Ausschluss-Schleifen kann man abschätzen, dass es bei diesen 113700 Sudokus vielleicht 15 10er-Ausschluss-Schleifen geben könnte. D.h., ob längere als 6er-Ausschluss-Schleifen sich lohnen, ist fraglich. Denn ob die längeren Ketten auch für eine Lösung gebraucht werden, ist eine andere Frage: Alle hier berechneten Sudokus mit 8er-Ausschluss-Schleifen konnten auch ohne diese gelöst werden, während die 6er-Ausschluss-Schleifen zur Lösung von etwa 600 Sudokus notwendig waren!
  • Erstaunlicherweise sind die Goldenen Ketten die häufigsten Ausdünnschritte, danach die Einzelzahl-Ketten, dann die Zeilen-/Spalten-Tests und Box-Tests mit jeweils etwa 8-9% Anzahl-Anteil und N-Tupel mit etwa 20% Anzahl-Anteil (und weniger als 1% Rechenzeit-Anteil), und auf die Ausschluss-Ketten entfielen 5.5% Anzahl-Anteil.
  • Bei den etwa 80000 Sudokus. die nur mit Ausdünnung gelöst werden konnten, traten die Zeilen-/Spalten-Tests, Box-Tests, N-Tupel und Ausschluss-Ketten bei etwa 75% aller Sudokus auf; die Einzelzahl-Ketten und Goldenen Ketten traten bei etwa 90% aller dieser Sudokus auf.
  • Bei den N-Tupeln konnten im Durchschnitt 3.3 Kandidaten gestrichen werden, bei den Zeilen-/Spalten- und Box-Tests etwa 1.7 Kandidaten, und sonst etwa 1.4 Kandidaten.
  • Es wurde ein Sudoku mit zwei Einzelzahl-Ketten der Länge 16 und zwei Sudokus mit fünf Goldene Ketten der Länge 19 und 14 Sudokus mit 56 Goldenen Ketten der Länge 18 gefunden (Beispiele weiter unten).
  • Bei den Lösungsmethoden war beim synchronen Bestimmen (bei insgesamt 13306000 Fällen, die dann zu 6432000 Zahlen führten) die A-Methode mit 32% sehr häufig, die B-Methode trat nur in 7% der Fälle auf, die C-Methode (offensichtliche Zeilen-/Spalten-Tests) in 6%, die D-Methoden (offensichtliche 2-Tupel) führten sogar zu 10% der Fälle; die zu A und B analogen Methoden E und F traten (nach dem Ausdünnen) in ähnlicher Häufigkeit in etwa 34% bzw. 11% der Fälle auf.
• Die Ausschluss-Verfahren wurden überarbeitet und erweitert; damit konnten weitere etwa 3000 der bisher nicht lösbaren Sudokus gelöst werden. Außerdem werden nun alle Ergebnisse eines Sudoku-Ausdünnschrittes aufgeführt, die gleichzeitig gefunden werden können - dabei werden ähnliche Einzelzahl- und Goldene Ketten aber nicht gewertet, wenn sie bei gleichen Anfangs- und Endpunkten für die gleiche Zahl gleich lang oder länger sind (Juni 2011). Es gibt mehrere Sudokus mit weit über 20 verschiedenen Ausdünnschritten, um nur einen Kandidaten zu streichen - zum Beispiel bei:
  Mit 32 Fällen für Kandidat 6 in Zeile 8 und Spalte 8: 020400000006000307000000015094010000007208000800003004300005102000090000070800000

  Bei den Standard-Methoden A bis D gibt es oft 4 und mehr Methoden (theoretisch maximal 12), die zur Setzung einer Zahl führen, zum Beispiel bei:
  Mit 8 Methoden für Zahl 7 in Zeile 1 und Spalte 9: 280030050000076800000000000000000680090008045540090030000005000004002006050003124

• Das Programm wurde in größerem Maße umgestellt: Es wurde verschiedene Methoden (D) programmiert, die darauf beruhen, dass man oft 2-Tupel (zwei Paare) direkt sieht, ohne dass man alle Kandidaten explizit anschreiben muss. Das betrifft sowohl das Auffinden einer Zahl an einer eindeutigen Stelle als auch als einzige Zahl an einer bestimmten Stelle. Außerdem werden nun alle Ergebnisse eines Sudoku-Standes aufgeführt, die gleichzeitig gefunden werden können. Darüber hinaus wurden auch die wichtigsten Fälle der Ausschluss-Schleifen (Verallgemeinerung der Ausschluss-Rechtecke auf 6 und 8 Zellen) programmiert (April/Mai 2011).
• Die Aussagen der bisherigen B-Methode (offensichtliche Zeilen-/Spalten-Tests, jetzt umbenannt in C-Methode) wurde stark verbessert (in den meisten Fällen werden jetzt nur noch die zur Lösung notwendigen Begründungen angezeigt) und dazu auch die Reihenfolge der ersten Methoden geändert: Zuerst A3, dann die bisherige B-Methoden (jetzt mit 2 Punkten pro aussagefähigen Begründungen; und falls es auch gleichzeitig eine A-Methode gibt, wird diese auch genannt, aber bei der Bewertung wird der kleinste Punktwert benutzt), dann erst A1 und A2, und am Ende die bisherige C-Methode (einzig mögliche Zahl, jetzt umbenannt in B-Methode), weil dies der natürlichen Reihenfolge entspricht, wenn man - wie das Ziel dieser Software ist - möglichst ohne Anschreiben der Reste/Kandidaten auskommen will (März 2011).
• Ohne ausführliche Beschreibung wird als letztes die Ausdünn-Methode Ausschluss-Rechteck (Unique Rectangle) eingeführt, die aber darauf basiert, dass das Sudoku eindeutig lösbar sein muss und insofern eine umstrittene Methode ist. Sie soll hier trotzdem angeboten werden. Genaueres siehe bei http://hodoku.sourceforge.net/de/tech_ur.php oder bei http://home.arcor.de/r.sudogu/r_tec/UniqueRectangle.html.
  Dazu etwas Statistik:
  Von insgesamt 1210923 zur Verfügung stehenden Sudokus können
  • 993056 nur mit den einfachen Methoden A (eindeutige Stelle) und C (einzig mögliche Zahl) gelöst werden
  • 110589 weitere Sudokus können mit den hier programmierten Ausdünn-Methoden gelöst werden
  • 107278 Sudokus können mit diesem Programm nicht gelöst werden; sie benötigen in der Trial&Error-Version bis zu 338 Versuche in bis zu 16 Feldern, um gelöst werden zu können. Mit einer abgewandelten Forcing-Chain-Methode konnten davon aber 100554 Sudokus gelöst werden, aber 6724 Sudokus bleiben weiterhin ungelöst, darunter AI Escargo, Easter Monster und Golden Nugget.
  
  Bei den 110589 mit Ausdünnen lösbaren Sudokus werden folgende Methoden benutzt:
  • 53.5 % Box- und Zeilen-/Spalten-Tests
  • 16.5 % N-Tupel
  • 12.0 % Einzelzahl-Ketten
  • 16.5 % Goldene Ketten
  •   1.5 % Ausschluss-Rechtecke (dabei 75 % für Typ 1, 4 und 7)
  
  Man sieht weiterhin die Bedeutung der Goldenen Ketten, aber auch, dass spezielle Methoden wie die der Ausschluss-Rechtecke nicht so sehr viel bringen (8300 vorher nicht lösbare Sudokus wurden damit gelöst); analoges würde auch für andere Methoden gelten wie Fast Gesperrte Mengen (Almost Locked Sets) oder Zwangsketten (Forcing Chains) (Februar 2011).
• Da die X-Wing-Methode keine bedeutende Ausdünn-Methode war, wurde ein Verfahren, das diese Methode als Sonderfall enthält, eingebaut: die Einzelzahl-Ketten-Methode (Single Digit Pattern). Damit konnten etwa 13400 der bisher knapp 129000 nicht lösbaren Sudokus erfolgreich berechnet werden. Erstaunlicherweise wurden bisher keine Ketten mit mehr als 8 Gliedern gefunden, wenn sie auch gleichzeitig zu einer Lösung führen sollte - nur bei 6 Sudokus wurden Ketten der Länge 10 gesehen (Dezember 2010/Januar 2011).
• Inzwischen wurden über 1210000 Sudokus gerechnet, von denen 1081000 (90 %) lösbar waren; d.h. 129000 sind mit dieser Software bisher nicht lösbar - darunter auch die bisher bekannten schwierigsten Sudokus überhaupt (AI Escargo, Easter Monster und Golden Nugget - Dank an Peter Frei). Dazu müssten mehr Verfahren implementiert werden, es ist aber schwierig zu sagen, welche von den etwa 50 bekannten Verfahren sinnvoll sind, da sie ja auch mit Hand durchführbar sein sollen (November 2010).
• Die bei http://sourceforge.net/projects/php-sudoku/ gefundenen 1 Million Sudokus (Dank an Michael Jentsch) wurden durchgerechnet. Sie sind aber etwas einfacher als die hier bisher gesammelten mehr als 22000 Sudokus, denn 965351 Sudokus konnte ohne Ausdünnung gerechnet werden, 30420 Sudokus (3 %) konnten nur mit Ausdünnung gelöst werden, und nur 4229 (0.4 %) Sudokus konnten mit diesem Programm nicht gelöst werden, hatten aber eine eindeutige Lösung, die sich durch Trial&Error aber im Allgemeinen auch sehr einfach finden ließ. Interessant wieder: X-Wings waren 4483 dabei, aber Goldene Ketten 47581, fast 11 Mal so viel (August 2010).
• Die jeweils neu gefundene Zahl wird mit spitzen Klammern, also z.B. >7< markiert (Juli 2010).
• Die Beispiele wurden in ihrem Aufbau verändert und auf eine extra Webseite gebracht, damit die eigentliche Seite nicht zu lang ist (Juni 2010).
• Jetzt gibt es die Möglichkeit, ein Sudoku, das mit den hier programmierten Methoden nicht gelöst werden kann, auf eindeutige Lösbarkeit testen zu lassen. Von 3400 untersuchten hier nicht lösbaren Sudokus waren etwa 630 eindeutig lösbar, über 2500 hatten mehr als eine Lösung - mit bis zu 52000 verschiedenen Lösungen - und etwa 230 waren prinzipiell nicht lösbar (Mai/Juni 2010).
• Die Punkte-Bewertung wurde geändert, insbesondere wurden die A-Methoden getrennt, da man eine fehlende Zahl in Boxen viel einfacher (1 Punkt) sieht als in Zeilen oder Spalten (NEU: 3 Punkte); und eine jeweils 9. fehlende Zahl wird gar nicht bewertet. Außerdem werden die Felder gezählt und mit je 1 Punkt bewertet, in denen zur Ausdünnung Reste/Kandidaten eingetragen werden müssen (April/Mai 2010).
• Jetzt wurden die Erklärungen und Beispiele zum Verständnis der Lösungsstrategien vollkommen überarbeitet und dabei auch Fehler behoben (Sorry!). Vielleicht kann man das Ganze nun besser verstehen... (März 2010).
• Es wurden auch schon über 200 Stunden für die Analyse der über 20000 Beispiele aufgewendet, z.B. für die verschiedenen Beispiel-Listen (höchste Punktzahl, längste Goldene Kette, lösbar nur durch Quadrupel, usw.), - insbesondere ein paar Dutzend Prozeduren geschrieben, um das Ganze einigermaßen automatisch zu erzeugen, da es immer wieder aktualisiert wird. Auch die beiden Reduzierungsläufe kosteten einiges an Zeit... (Februar 2010).
• Endlich wurde auch die Ausdünn-Methode X-Wing programmiert (in 5 Stunden von nun insgesamt etwa 300 Stunden Programmierarbeit). Leider erbrachte das aber auch nur knapp 1% mehr Lösungen (gegenüber 15% bei der Goldenen Kette!)... Aber immerhin hat die X-Wing-Methode den Vorteil, auch bei Zellen mit mehr als 2 Kandidaten zu funktionieren (gegenüber der Goldenen Ketten) - weswegen die Programmierung doch sinnvoll ist (Januar 2010).
• Dem entsprechend wurde auch die Reihenfolge der Ausdünn-Methoden umgestellt: Zuerst kommen nun die einfachen Zeilen-/Spalten- und Box-Test-Methoden, danach erst die N-Tupel, dann X-Wing und am Ende die Goldenen Ketten (Januar 2010).
• Es wurde die Goldene Kette in einer zweiten Version programmiert: Kürzere Kette werden zuerst gefunden (Maximallänge 14 - gegenüber vorher 23). Erstaunlichstes Ergebnis überhaupt aber war, dass durch die Programmierung der Goldenen Ketten 15% mehr Lösungen gefunden werden konnten als voher - und zwar auch noch fast genau so viele wie durch die Methode der 2-Tupel (Doppel) gefunden werden! Das Verfahren ist damit eine sehr wichtige Methode, aber auch aufwändiger: Es wurden schon Sudokus mit einer Rechenzeit von über 20 Sekunden (auf dem aktuellen Webserver) gelöst (bei der ersten Version aber wesentlich länger) - 30 Sekunden stehen bei Web-Anwendungen im Allgemeinen nur zur Verfügung (Dezember 2009; erste Version mit Rekursion: November 2009).
• Die Programmierung der N-Tupel wurde verbessert, so dass nun auch N-Tupel gefunden werden, deren einzelne Mitglieder alle aus weniger als N Zahlen bestehen. Die gewählte Methode erkennt nun etwa 99.9% dieser Fälle - eine nochmals erweiterte Programmierung brachte nur ein Beispiel aus 10000 Sudokus, kostet aber 15 % mehr an Laufzeit und wird deswegen weggelassen (die Programmteile sind auskommentiert und könnten auf dem eigenen Rechner aktiviert werden)... Versteckte N-Tupel müssen nicht extra programmiert werden, da sie immer mit direkten N-Tupel korrespondieren (Oktober 2009).
• Es fehlt die Programmierung von weiteren Ausdünn-Methoden wie z.B.: Swordfish (Erweiterung von X-Wing), und Colouring und Multicolouring, die aber nicht so viel zusätzliche Sudokus lösen werden können wie die bisherigen Methoden (auch X-Wing hatte ja nicht so viel gebracht...). Die verschiedenen Forcing Chain-Verfahren sind im Prinzip Trial&Error-Methoden und werden daher nicht implementiert.

Sechs Sudoku-Lösungsmethoden (A bis F)

1. Einfachste Methode: Direkte Dreier-Methode oder eindeutige Stelle (Hidden Single): Bestimme die fehlende dritte Zahl in drei zusammen liegenden (nebeneinander oder untereinander) Boxen. D.h.: Findet man in zwei von drei zusammen liegenden Boxen eine bestimmte Zahl, sucht man in der dritten Box nach einem eindeutigen Ort, an dem diese Zahl stehen kann. In vielen Fällen ist es auch einfach die einzige Stelle, an der eine bestimmte Zahl nur stehen kann, insbesondere beim Durchsuchen von Zeilen und Spalten.

   Bewertung: 1 Punkt innerhalb Boxen, 3 Punkte innerhalb Zeilen/Spalten, 0 Punkte bei der 9. fehlenden Zahl; Farbmarkierung: Grün

   Einfacher Fall:
   In der dritten Box (OR) kann die Zahl 7 nur in der dritten Zeile sein; damit bleibt die letzte Spalte als einzig möglicher Ort übrig (mit kleinem x markiert).
   PS: Der Übersichtlichkeit wegen wurden viele Felder nicht ausgefüllt, da deren Inhalt ohne Bedeutung ist; ebenso fehlen im Allgemeinen die letzten Zeilen der Beispiel-Sudokus.

   | | 7 | | 7 | | | | | | 1 | | 4 5 ... ... ... | | ... ... ... | | ... ... ...

   Komplexerer Fall:
   Es kann auch in den Zeilen und Spalten nachgesehen werden, ob eine Stelle für die bestimmte Zahl frei ist. In diesem Beispiel kann die Zahl 7 wieder nur in der dritten Zeile der rechten Box (OR) liegen. Da aber in der 8. Spalte in der darunter liegenden Box (MR) schon eine 7 steht, bleibt wieder nur die letzte Spalte (mit kleinem x markiert) als Zielort übrig.

   | | 7 | | 7 | | | | | | 1 | | 4 | | | | 7 ... ... ... | | ... ... ... | | ... ... ...

   Beispiele mit vielen A-Fällen und hohen Punktzahlen:

   55 wirkende von 97 A-Fällen (mit 99 Punkten): 000000000000001002034000050000000630000007400700085000000300040000800000270000000

   56 wirkende von 93 A-Fällen (mit 105 Punkten): 000000001000002000034000000000000350000006040600078000000300400000700800280000000

   57 wirkende von 97 A-Fällen (mit 120 Punkten): 000000001000000023000045000000000004002010000060000500000006000103000000700502800

2. Einzig mögliche Zahl: Einzige noch fehlende Zahl an einem bestimmtem Ort (Naked Single): Man untersucht für einen Ort, welche der 9 Zahlen dort stehen könnten, wobei die Sudoku-Regeln berücksichtigt werden müssen. Bleibt nur eine Zahl übrig, hat man die Lösung für diese Stelle gefunden. Das klingt zwar einfach, ist aber nicht so leicht zu erkennen.

Bewertung: 5 Punkte, Farbmarkierung: Blau

Beispiel: Die einzige Zahl an der Position Zeile 3 und Spalte 4 (mit kleinem x markiert) kann nur die Zahl 7 sein, weil alle anderen Zahlen schon in gleicher Zeile (1, 4, 8, 9), in gleicher Spalte (2, 5), bzw. in gleicher Box (1, 2, 3, 6) vorhanden sind.

| | 2 6 | | | | 3 | | 8 | | 1 | | 4 9 | | 5 | | 7 ... ... ... | | ... ... ... | | ... ... ...

Beispiele mit vielen B-Fällen:

15 wirkende von 28 B-Fällen (mit 132 Punkten): 006100700020500900080400100900000002700030005500060000000700060000009030000010400

17 wirkende von 29 B-Fällen (mit 149 Punkten): 000000000000001023045060000000000407000010000300008000000040500000900000200003080

18 wirkende von 26 B-Fällen (mit 138 Punkten): 000000001000000230004056000000000040000203700051000000000010007300000800900000000

Beispiele ohne offensichtliche Zeilen-/Spalten-Tests und 2-Tupel:

27 wirkende von 32 B-Fällen (mit 158 Punkten): 003805900000000080200007006600020503000301000009000007700600000030000000008509100

28 wirkende von 35 B-Fällen (mit 170 Punkten): 005800700000200000400001009670000940000000000028000015800700002000509000001004600

3. Offensichtlicher Zeilen-/Spalten-Test: Bestimme den Ort der dritten Zahl ohne genaue Kenntnis des Ortes der zweiten Zahl: Hier nutzt man aus, dass die Position der zweiten Zahl zwar noch nicht genau bekannt ist, aber auf eine Zeile oder Spalte einer Box beschränkt werden kann. Dann folgt der Ort für die dritte Zahl analog der oben beschriebenen Methode A. Dieses Verfahren kann in bestimmten Fällen auch ohne Kenntnis der ersten Zahl funktionieren. Diese Methode ist oft einfacher zu sehen als die A1- und A2-Methoden (einzige Position in einer Zeile oder Spalte), wenn es nur eine Begründung gibt.

Bewertung: 2 Punkte mal Anzahl der Begründungen, Farbmarkierung: Rot

Einfacher Fall:
Im einfachen Fall weiß man, dass in der rechten Box (OR) die Zahl 6 nur in der zweiten Zeile sein kann, da die erste Zeile nicht in Frage kommt (wegen der 6 in Spalte 9) - die genaue Position der Zahl 6 in der mittleren Zeile von Box OR ist aber noch unbekannt. Trotzdem kann man daraus schließen, dass in der ersten Box (OL) die 6 nur in der dritten Zeile sein kann; in dieser Zeile bleibt dann nur die zweite Spalte als einzig möglicher Ort übrig (mit kleinem x markiert).

5 4 7 | | | | 2 8 8 | | 2 | | 2 3 | | | | 5 4 9 | | | | 6 ... ... ... | | ... ... ... | | ... ... ...

Komplexerer Fall:
Wegen der Zahl 7 in der rechten mittleren Box (MR) kann in der davor liegenden Box (MM) die 7 nicht in Zeile 5 stehen. Damit bleiben als möglicher Ort für die 7 in dieser Box nur die beiden Positionen in der Spalte 5 übrig (mit kleinem a markiert).
Nun kann man ähnlich wie im einfachen Fall folgern, dass in der darüber liegenden Box (OM) die Zahl 7 nur in der oberen Zeile sein kann (Spalte 4 oder 6), wobei die genaue Position aber noch unbekannt ist. Also muss in der rechts davon liegenden Box (OR) die 7 wieder in der 3. Zeile sein. Da aber in der 8. Spalte in der darunter liegenden Box (MR) schon eine 7 steht, bleibt wieder nur die letzte Spalte (mit kleinem x markiert) als Zielort übrig.

Alternativ kann man auch argumentieren, dass die Zahl 7 in der 3. Zeile nicht in Box OL stehen kann (in dieser Box ist schon eine 7), auch nicht in Box OM wegen der 7 irgendwo in Spalte 5 von Box MM (siehe oben, mit kleinem a markiert), aber auch nicht in Spalte 8 der Box OR (siehe oben), und somit bleibt dort nur die Spalte 9 (mit kleinem x markiert) als Zielort übrig.

| | | | 7 | | | | | | 2 1 | | 4 | | 3 2 | | | | | | 7 ... ... ... | | 5 8 | | ... ... ...

Beispiele mit vielen C-Fällen:

19 wirkende von 23 C-Fällen (2 Mal "und folgend", 1 Mal "und ... und folgend"): 000080010500000200600000000017000008000200600000000000030000087200406000000500000

24 wirkende von 30 C-Fällen (4 Mal "und"): 000000000000000012003045000000000000000100067045000080000003500100000200600700000

3 wirkende von 8 C-Fällen (1 Mal "und", 1 Mal "und ... und folgend", 1 Mal "und ... und ... und folgend", 2 Mal "und ... und folgend ... und folgend") : 760900050001200760402000010000024100100000500050000090020015080000060371010700000

7 wirkende von 14 C-Fällen (2 Mal "und", 1 Mal "... und folgend ... und folgend") : 900600078852000900000008000009802103003090007200001009008030006090207000001000390

Schwierigste einfache Sudokus (ohne offensichtliche Zeilen-/Spalten-Tests und 2-Tupel):

37 A-Fälle und 24 B-Fälle und 10 Mal Extra-Punkte mit 265 Punkten: 000010000000234000005000600010000040780000021030000090007000500000381000000020000

52 A-Fälle und 12 B-Fälle und 15 Mal Extra-Punkte mit 298 Punkten: 000000001000002003045000000000006000000370080028000100000050040000800000100000006

4. Offensichtliche 2-Tupel (Doppel): In vielen Fällen sieht man zwei zusammengehörende Zellen, in denen zwei bestimmte Kandidaten nicht vorkommen können, weil sie in den anderen Zellen der Zeile, Spalte oder Box schon vorkommen. Diese werden hier offensichtliche 2-Tupel genannt und ermöchen das Auffinden von Zahlen, ohne dass alle Kandidaten aufgeschrieben werden müssen. Dabei gibt es drei Arten:

Bewertung: 5 Punkte, Farbmarkierung: Gelbgrün

Methode D1/D2/D3 analog A1/A2/A3 - Beispiel: Wegen des offensichtlichen 2-Tupels 15 kann die einzige Zahl an der Position Zeile 2 und Spalte 6 (mit kleinem x markiert) nur die Zahl 7 sein.

| | 8 6 | | 2 5 1 | | 2 | |       | | 15   15 | |       | | 7 | | 4 | | 5 | | | | 1 | | ... ... ... | | ... ... ... | | ... ... ...

Methode D0 analog B0 - Beispiel: Durch das offensichtliche 2-Tupel 48 kann ausgeschlossen werden, dass die Zahlen dieser 2-Tupel 4 und 8 an der betrachteten Stelle (mit kleinem x markiert) liegen; daher kann dort nur die Zahl 9 sein.

6   7   1   | | 2   48 48 | |       | | 7 5 1 | | 8 2 5 | | | | 4 7 | | | | 5 | | | | 3 ... ... ... | | ... ... ... | | ... ... ...

Methode D4 - Beispiel: Die zwei offensichtlichen, aber verschiedenen 2-Tupel 17 und 47 haben eine gemeinsame Zelle (mit kleinem x markiert): Dann kann diese Zelle nur den gemeinsamen Kandidaten haben.

8   3   17 | |       | | 6   4     2 | | 1 6 | | 7 6   5   17+47 | | 3   8   47 | |   2     ... ... ... | | ... ... ... | | ... ... ...


In der mittleren Reihe der linken Box können 1 und 7 nicht vorkommen; in der letzten Reihe können 4 und 7 nicht in der rechten Box liegen: Die einzige Zahl an der mit kleinem x markierten Stelle kann also nur die den beiden Paaren gemeinsame Zahl 7 sein.

Beispiele mit vielen D-Fällen:

24 wirkende von 48 D-Fällen (mit 34 Mal D1-3 und 12 Mal D0 und 2 Mal D4, dabei eine 3-fach-Begründung bei D1): 000000000000001002003000040000000000000050360070002000000000007005630000020807001

18 wirkende von 56 D-Fällen (mit 39 Mal D1-3 und 17 Mal D0, dabei zwei 3-fach-Begründungen): 000000001000002000003000045000000600000078900051000000000410003800000200900000000

7 wirkende von 13 D-Fällen (mit 10 Mal D1-3 und 3 Mal D0, dabei eine 4-fach-Begründung): 001300054000902000000000300400570000508000640200000100700000090802006500003008070

7 wirkende von 14 D-Fällen (mit 11 Mal D1-3 und 3 Mal D0, dabei eine 5-fache Begründung): 003406000050000000000001504010000603000008900090020007500070002807000056000010070

5. Vollständige Ausdünnung mit einzig auftretender Restzahl (alleine auftretender Kandidat): Hat man nach einem oder mehreren Ausdünnschritten mehrere Reste so weit verkleinert, dass eine bestimmte Zahl nur noch an einer einzigen Stelle innerhalb der Reste einer Zeile, einer Spalte oder einer Box vorkommt, ist diese Zahl Lösung für diese Stelle.

Bewertung: 4 Basis-Punkte, Farbmarkierung: Lila

Ausdünnung:
Hier wird davon ausgegangen, dass zuerst versucht wird, das Sudoku ohne Anschreiben der Reste (das sind die Kandidaten, also die möglichen Zahlen für die jeweilige Stelle) zu lösen (Methoden A, B, C und D). Kommt man damit nicht weiter, muss man für jede freie Stelle alle Zahlen aufschreiben, die für diese Stelle in Frage kommen (also die dafür überhaupt noch möglichen Zahlen): Das sind die Kandidaten für die jeweilige Stelle, die hier als Ganzes "Rest" genannt und auch der Einfachheit halber als eine mehrstellige Zahl (ohne Komma oder andere Trennzeichen unterhalb der Eingabefelder) geschrieben werden.
Danach versucht man, diese Reste so lange "auszudünnen", also zu verkürzen, bis man zu einer eindeutigen Lösung für eine Stelle kommt (Methoden E und F). Die Ausdünn-Methoden I bis VI werden im nächsten Abschnitt ausführlich beschrieben.

Beispiel:
Nach der Ausdünn-Methode III (siehe weiter unten im nächsten Abschnitt) findet man in der Box OR das Reste-Paar 79 zwei Mal. Die Zahlen 7 und 9 müssen also an diesen beiden Stellen auftreten. Damit können in allen anderen Resten dieser Box die Zahlen 7 und 9 gestrichen werden. Daraus folgt, dass an der Position Zeile 1 und Spalte 4 (mit kleinem x markiert) die Zahl 7 stehen muss.

2   6   4   | | 157 9   15 | | 157 8   3   1579 1579 1579 | | 2   3578 1358 | | 6   4   79 3   8   1579 | | 1357 6   4   | | 1579 2   79 | | 6 2 | | 8 1 | | 8 1 7 | | 5 ... ... ... | | ... ... ... | | ... ... ...

6. Vollständige Ausdünnung mit einstelliger Restzahl bzw. einziger Kandidatenzahl: Hat man nach einem oder mehreren Ausdünnschritten einen Rest so weit verkleinert, dass er nur noch aus einer Zahl besteht, ist diese Zahl die Lösung für die betrachtete Stelle.

Bewertung: 1 Basis-Punkt, Farbmarkierung: Braun

Beispiel:
Nach der Ausdünn-Methode I (siehe weiter unten im nächsten Abschnitt) kommt die Zahl 9 innerhalb der zweiten Zeile nur in der ersten Box (OL) vor: Daher muss die 9 dort sein (auch wenn man die Position innerhalb der zweiten Zeile noch nicht weiß) - sie kann also nicht in der dritten Zeile dieser Box noch einmal vorkommen. Daher kann man aus den Resten dieser Zeile in der Box OL den Kandidaten 9 streichen (d.h.: 249 wird zu 24, 39 wird zu 3).
Damit bleibt an der Position Zeile 3 und Spalte 3 (mit kleinem x markiert) nur noch die 3 als Kandidat übrig. Also hat man einen eindeutigen Rest an dieser Stelle gefunden.

5   246 36 | | 9   8   7   | | 1234 1234 1234 1   279 379 | | 23 23 4   | | 8   6   5   8   249 39 | | 1   6   5   | | 7   2349 2349 4 | | | | 3 2 | | | | ... ... ... | | ... ... ... | | ... ... ...

Sechs Methoden zur Ausdünnung der Reste (I bis VI)

1. Zeilen-/Spalten-Test der Reste innerhalb einer Box (Block/Line Interaction, Pointing): Man sieht in den Resten nach, ob innerhalb einer Box eine Zahl vorkommt, die nur genau in einer Zeile bzw. Spalte dieser Box auftaucht - diese Zahl muss dann in dieser Zeile bzw. Spalte dieser Box stehen (wobei die genaue Position noch unbekannt ist). Dann kann man in den anderen Resten dieser Zeile bzw. Spalte außerhalb der Box diese Zahl streichen.

Bewertung: Für jedes Vorkommen gibt es 3 Punkte.

Beispiel:

3   789 5   | | 12789 12489 124789 | | 1479 1479 6   178 4   1789 | | 5   1389 6   | | 1379 2   1379 6   79 2   | | 1379 1349 13479 | | 8   134579 134579 9 1 | | 4 7 2 | | ... ... ... | | ... ... ... | | ... ... ...


Hier findet man z.B. die Zahl 1: Sie ist in den Resten der Box OL nur in der zweiten Zeile vorhanden (rot gefärbte Reste), nicht in den anderen Zeilen dieser Box. Also kann man in den anderen Resten dieser Zeile in den anderen beiden Boxen diese Zahl streichen (durch die Darstellung in eckigen Klammern hervorgehoben). Damit bleibt übrig:

3   789 5   | | 12789 12489 124789 | | 1479 1479 6   178 4   1789 | | 5   [1]389 6   | | [1]379 2   [1]379 6   79 2   | | 1379 1349 13479 | | 8   134579 134579 9 1 | | 4 7 2 | | ... ... ... | | ... ... ... | | ... ... ...

2. Box-Test der Reste in einer Zeile oder Spalte (Line/Block Interaction, Claiming): Man sieht in den Resten einer Box nach, ob innerhalb einer Zeile bzw. Spalte eine Zahl vorkommt, die nur genau in dieser Box auftaucht. Diese Zahl muss also innerhalb dieser Box in der gefundenen Zeile bzw. Spalte stehen (wobei die genaue Position noch unbekannt ist), sie kann dann aber aus den anderen Zeilen bzw. Spalten innerhalb dieser Box gestrichen werden. Dies ist die am häufigsten auftretende Methode, um die Reste auszudünnen: 48 %!

Bewertung: Für jedes Vorkommen gibt es 3 Punkte.

Beispiel:

28 5   3   | | 4   7   9   | | 12 6   128 7   1289 12689 | | 136 136 5   | | 1239 12389 4   4   19 169 | | 8   136 2   | | 1359 7   1359 1 6 | | | | 8 ... ... ... | | ... ... ... | | ... ... ...


Hier findet man z.B. die Zahl 1: Sie ist innerhalb der ersten Zeile nur in den Resten der rechten Box OR vorhanden (rot gefärbte Reste). Also kann man in den anderen Zeilen dieser Box diese Zahl aus den Resten streichen - das wird hier durch die Darstellung in eckigen Klammern hervorgehoben. Damit bleibt übrig:

28 5   3   | | 4   7   9   | | 12 6   128 7   1289 12689 | | 136 136 5   | | [1]239 [1]2389 4   4   19 169 | | 8   136 2   | | [1]359 7   [1]359 1 6 | | | | 8 ... ... ... | | ... ... ... | | ... ... ...

3. N-Tupel (Naked Pair, Hidden Pair, Naked Triple, Hidden Triple, Naked Quadruple, Hidden Quadruple): Man sucht in einer Zeile, Spalte oder Box nach N-Tupel, also danach, dass bestimmte Kandidaten an nur wenigen Stellen auftreten: Genauer heißt das, dass man N Stellen innerhalb einer Zeile, Spalte oder Box sucht, in denen genau N verschiedene Kandidaten auftreten, also keine anderen Kandidaten. Wenn an N Stellen alle oder ein Teil der N betrachteten Kandidaten stehen, können diese Kandidaten nur an diesen N Stellen auftreten (wobei die Verteilung noch unbekannt ist); diese Kandidaten können dann aber aus den anderen Resten gestrichen werden.

Es gibt 2-Tupel (Doppel), 3-Tupel (Tripel), 4-Tupel (Quadrupel), 5-Tupel (Pentupel), 6-Tupel (Sextupel) und 7-Tupel (Septupel) - 8-Tupel machen keinen Sinn, da dann die neunte Zahl eindeutig ist und somit direkt gefunden werden kann. Zu jedem gefundenen N-Tupel gehört ein entsprechendes verstecktes M-Tupel (mit M anderen Kandidaten), wobei N+M gleich der Anzahl der freien Zellen innerhalb einer Zeile, Spalte oder Box ist. Sind die N Kandidaten aus den anderen Resten gestrichen worden, wird aus dem versteckten M-Tupel ein normales M-Tupel (im ersten Beispiel gibt es zu dem Doppel 79 das versteckte Tripel 345).

Bewertung: Für jedes N-Tupel gibt es 2*N Punkte (es gilt nur die Länge des direktes N-Tupels, nicht des versteckten N-Tupels).

Einfaches Beispiel mit 2-Tupel (Doppel):

6   79 2   | | 79 1   3479 | | 8   34579 34579 189 4   179 | | 5   3789 6   | | 1379 2   1379 3   1789 5   | | 2789 24789 2479 | | 1479 1479 6   7 8 | | 4 | | | | 3 8 | | ... ... ... | | ... ... ... | | ... ... ...


Hier findet man z.B. in der ersten Zeile das 2-Tupel 79 (Doppel: 79, 79) - bzw. das versteckte 3-Tupel (Tripel) 345 -, als rot gefärbte Reste markiert; die beiden Kandidaten 7 und 9 müssen also an diesen beiden Stellen sein. Also kann man in den anderen Resten dieser Zeile diese beiden Zahlen streichen (durch die Darstellung in eckigen Klammern hervorgehoben). Damit bleibt übrig:

6   79 2   | | 79 1   34[7][9] | | 8   345[7][9] 345[7][9] 189 4   179 | | 5   3789 6   | | 1379 2   1379 3   1789 5   | | 2789 24789 2479 | | 1479 1479 6   7 8 | | 4 | | | | 3 8 | | ... ... ... | | ... ... ... | | ... ... ...

Kurzes Beispiel mit 3-Tupel (Tripel):
Hier findet man in der Box OM (und in der 5. Spalte) das 3-Tupel 235 (Tripel: 235, 23, 25). Damit können in allen anderen Resten dieser Box (und in der 5. Spalte) die Kandidaten 2, 3 und 5 gestrichen werden.

4     | | 2357 235 9   | |   1       1     | | 6   23 8   | |     5       3   | | 12457 25 12457 | |       | | 7 | | | | 4 | | ... ... ... | | ... 1 ... | | ... ... ...

Relativ häufig (in etwa 10% aller N-Tupel-Fälle) findet man noch 4-Tupel (z.B. das Quadrupel 1479 mit: 147, 17, 79, 49), aber 5-Tupel, 6-Tupel und 7-Tupel sind sowohl noch seltener (2 %) als auch schwieriger zu erkennen...

Beispiele mit vielen bzw. großen N-Tupeln:

7 wirkende von 12 N-Tupel (maximal 7-Tupel): 100050600000080207009030000030000000500900008008204000004000000600000701070000306

14 wirkende von 22 N-Tupel (maximal 6-Tupel): 100007009050100000080260000007000400314020000800000030000000040040900270000005360

11 wirkende von 23 N-Tupel (maximal 7-Tupel): 100407080006009030700200050231000900005000401000000000000010000000008002890700000

13 wirkende von 24 N-Tupel (maximal 5-Tupel): 003450009000109700080060000000090000014000000005320000000006908040000100000005062

4. Einzelzahl-Ketten (Single Digit Pattern, Forcing X-Chain): Kette aus Resten, bei denen überall eine bestimmte Zahl vorkommt (das verbindendes Element). Man sieht für eine bestimmte Zahl in den Resten nach, ob in Zeilen oder Spalten oder Boxen diese Zahl genau zwei Mal vorkommt. Hat man mehrere solcher sogenannten starken Doppel (Paar wird hier nur für eine Zelle mit genau zwei Kandidaten benutzt) gefunden, lassen sich diese eventuell dadurch zu einer Einzelzahl-Kette verbinden, dass jeweils ein Anfang oder Ende in der gleichen Zeile, Spalte oder Box wie ein anderes starkes Doppel liegen; interessant ist hierbei, dass die anderen Kandidaten der jeweiligen Reste keine Rolle spielen, egal welche und wie viele es sind. Wenn sowohl vom Anfang einer so konstruierten Kette als auch vom Ende dieser Kette ein oder mehrere Zellen "gesehen" werden, also in der jeweils gleichen Zeile, Spalte oder Box liegen, kann die bestimmte Zahl aus diesen Zellen gestrichen werden. Es gilt: Entweder liegt die bestimmte Zahl am Anfang der Kette; ist das nicht der Fall, gilt folgender Schluss: Liegt diese Zahl nicht im ersten Feld der Kette, muss sie aber im zweiten Feld liegen, da dieses ein starkes Doppel ist; dann kann sie jedoch nicht im dritten Feld sein, muss somit im vierten Feld liegen, usw. - d.h. in jedem 2*K-ten Feld der Kette muss dann die bestimmte Zahl liegen, also auch - wegen der Geradzahligkeit der Kettenglieder - im letzten Feld am Ende der Kette.

Bewertung: Für jedes Vorkommen gibt es 2*N Punkte entsprechend der Länge N der gefundenen Kette (N = 4 bis - theoretisch - 18, immer geradzahlig, mit 16 als einmal größte bisher gefundene Kettenlänge und 12 als bisher ausreichende Kettenlänge).

Literatur:
Sonderfälle dieses Verfahrens: X-Wing, Swordfish (Minimum-Version), Jellyfish (Minimum-Version), Skyscraper, Turbot Fish, Two-String Kite (Long String Kite und Empty Rectangle sind Erweiterungen).
AHR Software: Single Digit Pattern, z.B. Skyscraper http://www.ahr-sudoku.de/solving.php/technic/Skyscraper
HoDoKu: http://hodoku.sourceforge.net/de/tech_sdp.php

Beispiel:

2389 1   89 | | 7   34 5   | | 6   489 28 568 568 4   | | 2   9   1   | | 58 7   3   2359 2359 7   | | 6   34 8   | | 24 459 1   1   278 3   | | 5   27 9   | | 24 48 6   2459 2459 59 | | 8   6   3   | | 7   1   29 2789 2789 6   | | 1   27 4   | | 35 35 289 ...     ...     ...     | | ...     ...     ...     | | ...     ...     ...


Hier untersucht man z.B. die Zahl 2: Man findet die 2 genau zwei Mal in Zeile 1 (2389-28), in Spalte 5 oder in Box MM (27-27) und in Spalte 7 (24-24), und in Box OR (28-24). Startet man zum Beispiel mit dem Doppel 27-27 in Spalte 5, kann man mit dem zweiten Spaltendoppel (24-24) über Zeile 4 verbinden (die dritte 2 in dieser Zeile stört bei der Verbindung von starken Doppeln nicht). Das Zeilendoppel kann man als letzten Teil der Kette in der rechten oberen Box anschließen (das starke Doppel 28-24 ist hierbei keine Notwendigkleit) und erhält somit die Kette: (6:5)27 - (4:5)27 - (4:7)24 - (3:7)24 - (1:9)28 - (1:1)2389.
Die Kette kann natürlich auch andersherum geschrieben werde: (1:1)2389 - (1:9)28 - (3:7)24 - (4:7)24 - (4:5)27 - (6:5)27.

Nun gilt: In Zeile 6/Spalte 1 kann die Zahl 2 nicht stehen, denn entweder liegt wegen der gefundenen Kette die 2 in Zeile 6/Spalte 5 (Anfang der Kette) oder in Zeile 1/Spalte 1 (Ende der Kette). D.h.: Ist die 2 in Zeile 6/Spalte 5, ist alles klar; ist die 2 aber nicht in Zeile 6/Spalte 5, muss sie in Zeile 4/Spalte 5 sein (da 27-27 ein sogenanntes starkes Doppel ist), kann somit nicht in Zeile 4/Spalte 7 sein, muss also in Zeile 3/Spalte 7 sein (starkes Doppel 24-24), also nicht in Zeile 1/Spalte 9, und muss daher in Zeile 1/Spalte 1 (starkes Doppel 2389-28) sein. Damit erhält man:

23896 1   89 | | 7   34 5   | | 6   489 285 568 568 4   | | 2   9   1   | | 58 7   3   2359 2359 7   | | 6   34 8   | | 244 459 1   1   278 3   | | 5   272 9   | | 243 48 6   2459 2459 59 | | 8   6   3   | | 7   1   29 [2]789 2789 6   | | 1   271 4   | | 35 35 289 ...     ...     ...     | | ...     ...     ...     | | ...     ...     ...


Bisher wurde hier die X-Wing-Methode benutzt. Diese ist aber nur ein Sonderfall der Einzelzahl-Ketten-Methode, im Beispiel also die Ketten 56-56-157-157 (ab Spalte 2) und 56-56-157-157 (ab Spalte 5): es können alle Auftreten der Zahl 5 außerhalb dieser Kette bzw. des X-Wings in der Spalte 2 bzw. Spalte 5 gestrichen werden:

8   56 3   | | 9   56 2   | | 1   4   7   567 2[5]67 9   | | 56 4   1   | | 8   3   25 45 24[5] 1   | | 7   3   8   | | 6   9   25 1457 14[5]7 8   | | 56 2   9   | | 3   167 146 3   157 6   | | 8   157 4   | | 2   17 9   2 ... ... | | ... ... ... | | ... 5 ...

Beispiele mit vielen bzw. langen Einzelzahl-Ketten:

16 wirkende von 63 Einzelzahl-Ketten (maximal 12 lang): 070608040006702300200000006012000487600070000057080960500000001709815604060407050

19 wirkende von 66 Einzelzahl-Ketten (maximal 10 lang): 300409010000020300079010008000700000014203760700001030400000970090060000020008001

4 wirkende von 45 Einzelzahl-Ketten (maximal 14 lang): 000000000000000012003045000000006500070000000120000080000271000000400000006000300

14 wirkende von 42 Einzelzahl-Ketten (maximal 16 lang): 000000000000000012003045000000006400010000000270000008000100000004000530020070000

5. Goldene Kette (Golden Chain, Double Implication Chain): Das ist eine Reihe von Paaren vom Typ ab, bc, cd, de, ef, ..., xy, yz, za, von denen jeweils zwei aufeinanderfolgende Paare in der gleichen Zeile, Spalte oder Box liegen und die eine gemeinsame Zahl besitzen, die aber - im Gegensatz zur Einzelzahl-Kette - von Kettenglied zu Kettenglied anders sein kann. Wenn die Zahl des ersten Paars, die nicht im zweiten Paar vorkommt (hier bei ab also a) mit der Zahl des letzten Paars, die nicht im vorletzten Paar vorkommt (bei za also auch a), übereinstimmt, dann kann man alle Zahlen a streichen, die sowohl von dem ersten als auch dem letzten Paar aus "gesehen" werden, also in der jeweils gleichen Zeile, Spalte oder Box liegen, weil die Zahl a auf jeden Fall entweder am Anfang der Kette oder am Ende der Kette vorkommen muss (wenn a an der Stelle des ersten Paares vorkommt, ist das offensichtlich; kommt dort aber b vor, so muss an der Stelle des zweiten Paares c sein, daher an der des dritten Paares d usw., bis zu z an der Stelle des vorletzten Paares, also a an der Stelle des letzten Paares, was behauptet wurde).

   Bewertung: Hierbei gibt es 2*N Punkte entsprechend der Länge N der gefundenen Kette (N = 3 bis etwa 20, mit 19 als zweimal größte bisher gefundene Kettenlänge und 13 als bisher ausreichende Kettenlänge).

   Literatur:
   Download des Artikels von Eduyng Castan: http://www.coverpop.com/sfiles/Sudoku-GoldenChains.pdf
   Ähnlicher Artikel von Mihail Iusut: http://www.scanraid.com/sudoku/Remote_Pairs_and_XY_Chains.pdf

   Beispiel einer Goldenen Kette:

   8   271 6   | | 4   9   5   | | 372 23 1   1[2] 3   124 | | 8   7   6   | | 5   9   24 5   9   47 | | 23 123 12 | | 8   6   47 124 6   9   | | 237 4   27 | | 133 5   8   7   1[2] 8   | | 5   23 9   | | 4   13 6   ... ... ... | | ... ... ... | | ... ... ...

   
   Die gefundene Goldene Kette ist: (1:2)27 - (1:7)73 - (4:7)31 - (4:1)12. Beachte, dass hier die Reihenfolge der Zahlen innerhalb eines Doppels dem Verkettungs-Prinzip angepasst ist: Also 73 statt der sonst aufsteigenden Reihenfolge 37 und 31 statt sonst 13. Das jeweilige Ende der Goldenen Kette ist also die Zahl 2, die daher im Feld (2:1), also Zeile 2 und Spalte 1, und im Feld (5:2), also Zeile 5 und Spalte 2, gestrichen werden kann.
   Identisch mit der gefundenen Goldenen Kette ist auch die in umgekehrter Reihenfolge: (4:1)21 - (4:7)13 - (1:7)37 - (1:2)72.

   Beispiele mit vielen bzw. langen (wirkenden) Goldenen Ketten:

   55 wirkende von 84 Goldenen Ketten (maximal 15 lang): 103050000050009000080000004000060008008000072000290310004072000000004050030000800

   38 wirkende von 62 Goldenen Ketten (maximal 18 lang) - davon 32 in einem Ausdünnschritt: 023056000406009100000000000004600800010000006900370040002041005070000030000000902

   20 wirkende von 46 Goldenen Ketten (maximal 19 lang): 050072000000000004009086025020000081600000050007205063300090008081004500040803070

   31 wirkende von 60 Goldenen Ketten (maximal 19 lang): 581000000076400059040000060060000910050870003000004000098700000700961080004580000

   Die beiden Sudokus mit Goldenen Ketten der Länge 19 können auf diesem Webserver nicht gerechnet werden, da sie zu viel Rechenzeit benötigen. Hier daher nur die Einzelergebnisse:
   Im Sudoku 050072000000000004009086025020000081600000050007205063300090008081004500040803070 eine Goldene Kette der Länge 19:
   Goldene Kette für Zahl 4 gefunden: (1:1)14 - (1:8)19 - (2:8)19 - (2:6)19 - (4:6)79 - (7:6)17 - (7:7)16 - (7:2)67 - (3:2)37 - (3:7)37 - (2:7)78 - (2:3)68 - (9:3)56 - (9:1)59 - (9:9)29 - (9:5)12 - (6:5)14 - (6:7)49 - (4:7)49
   Im Sudoku 581000000076400059040000060060000910050870003000004000098700000700961080004580000 je zwei Goldene Ketten der Länge 19:
   Goldene Kette für Zahl 6 gefunden: (1:6)69 - (1:5)29 - (4:5)23 - (2:5)13 - (2:7)12 - (2:1)23 - (9:1)23 - (9:6)23 - (7:6)23 - (7:8)23 - (1:8)34 - (1:9)47 - (9:9)67 - (6:9)56 - (7:9)15 - (3:9)12 - (3:3)23 - (3:4)13 - (6:4)16
   und
   Goldene Kette für Zahl 9 gefunden: (1:5)29 - (4:5)23 - (2:5)13 - (2:7)12 - (2:1)23 - (9:1)23 - (9:6)23 - (7:6)23 - (7:8)23 - (1:8)34 - (1:9)47 - (9:9)67 - (6:9)56 - (7:9)15 - (3:9)12 - (3:3)23 - (3:4)13 - (6:4)16 - (5:6)69

   Lange Goldene Ketten der Länge 20 und 21 (!) aus früherer Software (ohne Einzelzahl- und Ausschluss-Ketten):
   Goldene Kette für Zahl 7 gefunden: (2:1)72 - (1:1)21 - (1:7)12 - (3:9)24 - (2:9)46 - (2:8)68 - (2:2)84 - (3:2)48 - (3:8)81 - (3:3)17 - (3:5)72 - (9:5)21 - (9:9)12 - (7:7)26 - (5:7)61 - (4:8)16 - (4:1)65 - (4:2)51 - (8:2)12 - (8:4)27
   Goldene Kette für Zahl 2 gefunden: (2:4)21 - (2:6)17 - (2:1)72 - (1:1)21 - (1:7)12 - (3:9)24 - (2:9)46 - (2:8)68 - (2:2)84 - (3:2)48 - (3:8)81 - (3:3)17 - (3:5)72 - (9:5)21 - (9:9)12 - (7:7)26 - (5:7)61 - (4:8)16 - (4:1)65 - (4:2)51 - (8:2)12

6. Ausschluss-Ketten: Ausschluss-Rechtecke und Ausschluss-Schleifen:

Ausschluss-Rechtecke (Unique Rectangles): Das sind 4 Zellen, die in zwei verschiedenen Zeilen, zwei verschiedenen Spalten und zwei (!) verschiedenen Boxen liegen und in allen diesen Zellen neben anderen Kandidaten zwei gleiche Kandidaten haben. Wegen der eindeutigen Lösbarkeit eines Sudokus kann man dann bestimmte Kandidaten ausschließen; dabei werden (hier) 7 Typen unterschieden. Genaueres siehe bei http://hodoku.sourceforge.net/de/tech_ur.php und bei http://home.arcor.de/r.sudogu/r_tec/UniqueRectangle.html.

Bewertung: Hierbei gibt es 4, 6, 10, 12, 8, 12, 12 Punkte entsprechend dem Typ des Ausschluss-Rechtecks.

Achtung: Da das Ausdünnen die Eindeutigkeit eines Sudokus erfordert, sollte man diese im Zweifelsfall prüfen - das wird am Ende des Programms automatisch angeboten. Bei mehrdeutigen Sudokus wird eventuell eine angeblich eindeutige Lösung gefunden, obwohl es auch andere Lösungen gibt. Beispiel (dabei auch auf die nach dem Sudoku folgende Zeile klicken):

Sudoku mit 3 Lösungen, davon zwei gleichartige an den Stellen (3:8 - 3:9 - 8:9 - 8:8): 000000089406009200000630000000000050000004000001720030010000008075000000032070060

Ausschluss-Rechteck Typ 7 für (3:8 - 3:9 - 8:9 - 8:8)14 gefunden: Wegen Kandidat 1 alleine in einer Zeile und Spalte des Rechtecks ist Kandidat 4 und wegen Kandidat 4 alleine in einer Zeile und Spalte des Rechtecks ist Kandidat 1 dort im Ausschluss-Rechteck streichbar

Unter der falschen Annahme, dass das Sudoku eindeutig lösbar ist, werden in einem Ausschluss-Rechteck Kandidaten eliminiert, die aber zu zwei anderen Lösungen gehören - mit der Zahl 5 (statt 4) in Zeile 1 und Spalte 4.

Ähnliches gilt für 020000043050307600006020000003040090000060000090150200000010300008506010710000050 mit 8 Lösungen, aber genau eine wird gefunden!

Beispiel eines Ausschluss-Rechtecks vom einfachen, aber recht häufigen Typ 1: Es gibt drei Zellen mit drei gleichen Paaren, und in der vierten Zelle gibt es zusätzliche Kandidaten, von denen deshalb einer gültig sein muss:

7   3   251 | | 246 252 9   | | 68 1   248 1249 19 8   | | 123467 1237 1467 | | 5   2469 249 1249 6   254 | | 8   1[2][5]3 145 | | 7   249 3   ... ... ... | | ... ... ... | | ... ... ...

Würde man die Zahl 1 in Zeile 3 und Spalte 5 streichen, hätte man ein Ausschluss-Rechteck: In allen vier betrachteten Zellen gibt es dann nur die Zahlen 2 und 5 als Kandidaten; dann wären prinzipiell zwei Lösungen möglich (2 - 5 - 2 - 5 und 5 - 2 - 5 - 2). Das ist aber ein Widerspruch zu der Voraussetzung, dass ein Sudoku eindeutig lösbar sein muss. Also muss in dieser Zelle die 1 stehen bzw. die Kandidaten 2 und 5 können gestrichen werden (falls mehrere zusätzliche Kandidaten vorliegen).

Beispiel eines Ausschluss-Rechtecks vom einfachen, jedoch nicht so häufigen Typ 2: Es gibt zwei Zellen mit zwei gleichen Paaren, und in den anderen neben- oder übereinander liegenden Zellen gibt es einen zusätzlichen Kandidaten, der in einer der beiden Zellen gültig sein muss:

1   29 2359 | | 23467 3567 269 | | 79 [3]478 2[3]89 471 259 6   | | 23457 8   29 | | 1   3472 2[3]9 474 8   239 | | 12347 137 129 | | 5   3473 6   ... ... ... | | ... ... ... | | ... ... ...

Würde man die Zahl 3 in Spalte 8 der Zeilen 2 und 3 streichen, hätte man ein Ausschluss-Rechteck: In allen vier betrachteten Zellen gibt es dann nur die Zahlen 4 und 7 als Kandidaten; dann wären prinzipiell zwei Lösungen möglich (4 - 7 - 4 - 7 und 7 - 4 - 7 - 4). Das ist aber ein Widerspruch zu der Voraussetzung, dass ein Sudoku eindeutig lösbar sein muss. Also muss in einer der erwähnten Zellen die Zahl 3 stehen - d.h. alle von diesen beiden Zellen aus sichtbaren Kandidaten 3 können gestrichen werden.

Liegen sich die beiden Zellen mit den Zusatzkandidaten diagonal gegenüber, gilt die gleiche Folgerung: Aus allen Zellen, die von den beiden Zellen mit dem Zusatzkandidaten gesehen werden können, kann dieser gestrichen werden. Das ist der Ausschluss-Typ 5, der aber ziemlich selten vorkommt.

Beispiel eines Ausschluss-Rechtecks vom einfachen und auch häufigen Typ 3: Es gibt zwei Zellen mit zwei gleichen Paaren, und in den anderen neben- oder übereinander liegenden Zellen gibt es zusätzliche Kandidaten, die als kandidaten einer Zelle aufgefasst werden können. Zusammen mit anderen Kandidaten der entsprechenden Zeile, Spalte oder Box können diese ein Quasi-N-Tupel bilden:

1237 8   5   | | 17 231 4   | | 6   12372 9   1237 9   137 | | 17 8   6   | | 5   [1]234[7] [1]4[7] 4   1267 1367 | | 9   234 5   | | 8   12373 17 ... ... ... | | ... ... ... | | ... ... ...

Hier liegen in Spalte 8 der Zeilen 1 und 3 die Zusatzkandidaten 1 und 7. Zusammen mit dem Rest 17 in der gleichen Box bilden sie ein Quasi-2-Tupel. Da einer der Zusatzkandidaten gesetzt sein muss, können die von diesem N-Tupel aus sichtbaren Kandidaten der anderen Zellen somit gestrichen werden.

Übersicht der Ausschluss-Rechtecke-Typen (mit "ab" als die zwei gleichen Kandidaten):

• Typ 1:   ab - ab - ab - abc(de)   =>   ab streichbar bzw. c setzbar - [Recht häufig]
• Typ 2:   ab - ab - abc - abc   =>   Alle anderen c in betroffener Zeile bzw. Spalte und auch Box (wenn beide c in gleicher Box) streichbar
• Typ 3:   ab - ab - abcd - abe - cde - cde   =>   Quasi-N-Tupel, z.B. cde: Alle anderen cde in betroffener Zeile bzw. Spalte und/oder Box streichbar
• Typ 4:   ab - ab - abcd - abef, a sonst nirgendwo in der Zeile bzw. Spalte und/oder Box   =>   b in Zeile/Spalte/Box streichbar - [Sehr häufig]
• Typ 5:   ab - abc - abc - ab(c) mit c diagonal   =>   Alle anderen c in sichtbarer Zeile/Spalte/Box streichbar (Erweiterung von Typ 2) - [Extrem selten]
• Typ 6:   ab - abc - abd - ab mit c und d diagonal, a nur im Rechteck   =>   a streichbar aus Zellen mit Zusatzkandidat (Erweiterung von Typ 4)
• Typ 7:   ab - abc - abd - ab(e), a nur im Rechteck   =>   b streichbar aus gegenüber liegender Zelle mit Zusatzkandidat (offiziell: Verstecktes Rechteck) - [Am häufigsten]

Bei den 113700 gerechneten Sudokus traten Ausschluss-Rechtecke insgesamt fast 136000 Mal auf; Typ 1 war 13000 Mal (10%) zu finden, Typ 2 und Typ 3 etwa 4900 Mal (4%), Typ 4 war mit 76000 (56%) am häufigsten, Typ 5 mit 46 (0.03%) am seltensten, Typ 6 war mit 2000 Mal (1.5%) im Gegensatz zu Hodokus Aussage doch relativ selten, und Typ 7 mit 35000 Mal (25%) am zweit-häufigsten.
Ähnliche Verhältnisse gelten bei den Quasi-Ausschluss-Rechtecken. Die Ausschluss-Rechtecke waren mit 92.6% am häufigsten, die Quasi-Ausschluss-Rechtecke hatten 4.4%, die 6er-Ausschluss-Schleifen 2.8% und die 8er-Ausschluss-Schleifen 0.2% Anteile.

Beispiel mit Typ 1: 000000000000000012003004000000000005000003600027010000000800300070000400650020000

Beispiel mit Typ 2: 000000001000001020003000000000040500010000300260007000000430000005080000070000060

Beispiel mit Typ 3: 000000001000001023004000000000000500000670400130000000000050700006040000200000008

Beispiel mit Typ 3: 000000000400009023789000400200000030000070516000018000007000000800000204042560070

Beispiel mit Typ 4 (4A, 4B): 000400600050009030009300540000600005610000000830500010000800794000003000001070000

Beispiel mit Typ 5: 103400000050709000000020004000005007600000090000007258092000000501090300000060000

Beispiel mit Typ 6: 120406700000000130000000500295800000007020000000004000002000890600001000004500200

Beispiel mit Typ 7 (7B): 100050000006009000080120004004600300000007010097000600000800000568000200040001076

Beispiel mit Typ 7 (7B,7D,7E): 004600090860190007000000006480060023070948060150070084600000000700029058030006100

Quasi-Ausschluss-Rechtecke:

Das Konzept der Quasi-Ausschluss-Rechtecke wird hier eingeführt: Dies sind unvollständige Ausschluss-Rechtecke, z.B. wenn schon einige Zellen eindeutig besetzt wurden (dann Vermeidbare Ausschluss-Rechtecke genannt) oder (viel allgemeiner) einige Kandidaten in einer Zelle oder mehreren Zellen schon fehlen; diese wurden dann im Allgemeinen in einem vorhergehenden Ausdünnschritt eliminiert und können aber wieder (vorübergehend) eingesetzt werden, um ein Ausschluss-Verfahren zu ermöglichen. Man untersucht dazu die beiden Diagonalen in einem möglichen (Quasi-)Ausschluss-Rechteck: Ist in einer Diagonale eine Zahl bzw. ein Kandidat in beiden Zellen vorhanden, kann man diese Zahl wieder (vorübergehend) in die anderen beiden Kandidatenlisten eintragen. Oft sind die beiden neu einzutragenden Zahlen dann das gemeinsame Paar des Ausschluss-Rechtecks.

Bewertung: Hierbei gibt es 6 Punkte mehr als bei dem entsprechenden Typ des Ausschluss-Rechtecks.

Beispiel eines Quasi-Ausschluss-Rechtecks:
Betrachte die Zeilen 2 und 3 und die Spalten 3 und 7:

8   379 79 | | 1     5     4     | | 6   37 2   4   2   17 | | 6   8   3   | | 15 9   57 6   13 5   | | 7   9   2   | | 13 8   4   ... ... ... | | ... ... ... | | ... ... ...

Man sieht, dass die 1 in der ersten Diagonale in beiden Kandidatenlisten vorkommt und somit in den Zellen der zweiten Diagonale hinzugefügt werden kann - hier an der Stelle der schon gefundenen, also nicht originalen (!) Zahl 5 in Zeile 3 und Spalte 3 - und dass die 5 in der zweiten Diagonale in beiden Kandidatenlisten vorkommt und somit den Zellen der ersten Diagonale hinzugefügt werden kann. Daraus wird dann ein Ausschluss-Rechteck mit 15 als gemeinsamem Kandidatenpaar, wobei die hinzugefügten Kandidaten in runde Klammern gesetzt werden:

8   379 79 | | 1     5     4     | | 6   37 2   4   2   1(5)71 | | 6   8   3   | | 1[5]2 9   57 6   13 (1)54 | | 7   9   2   | | 13(5)3 8   4   ... ... ... | | ... ... ... | | ... ... ...

Da nun der Kandidat 1 alleine in einer Zeile und Spalte des Rechtecks liegt (nach Typ 7), kann der Kandidat 5 dort im Ausschluss-Rechteck gestrichen werden.

Für die Quasi-Ausschluss-Rechtecke gibt es die gleichen 7 Typen wie bei den normalen Ausschluss-Rechtecken. Typ 5 wurde bisher nur 1 Mal beobachtet!

Beispiel mit Typ 1: 000000000000000012000034000000000500001006000007000003030000400050070060800310000

Beispiel mit Typ 1 (Vermeidbares Rechteck): 050000000060504200008071000400003608000000000890100700300000000000207010072030090

Beispiel mit Typ 2: 609700000201080040070500020708000060300000001060000905020006090010090802000004306

Beispiel mit Typ 2 (Vermeidbares Rechteck): 085000060000004700030000100000000050600043000070820300000459670000000000904160003

Beispiel mit Typ 3: 900708100007030000000500402300090205070600000080050010006000004400003500000800000

Beispiel mit Typ 3 (Vermeidbares Rechteck): 004500130000020000800007600070143508500070004010805000037001000190400000000000300

Beispiel mit Typ 4: 800054367007900008532007190000040000058069070003800010000090000000708050680000739

Beispiel mit Typ 5 (gleichzeitig 2 in einem Rechteck!): 000000000000000012003045000000000600004000300070801000000030460000200000010700000

Beispiel mit Typ 6: 000000000045203780070605020020806300000000070060500890082100500034070000000000000

Beispiel mit Typ 7: 120000600006100207080200000000300090091006000805000003000908006030000000000074005

Beispiel mit Typ 7: 000400089050109200700300000090008000030000020000035006008060570002000300010000000

Ausschluss-Schleifen:

Die Erweiterung der Ausschluss-Rechtecke sind Ausschluss-Schleifen: Ausschluss-Schleifen sind 2*N Zellen, die in N verschiedenen Zeilen, N verschiedenen Spalten und N (!) verschiedenen Boxen liegen und in allen diesen Zellen neben anderen Kandidaten zwei gleiche Kandidaten haben (siehe z.B. http://home.arcor.de/r.sudogu/r_tec/UniqueLoop.html. Hier wurden die Versionen mit 6 und 8 Zellen programmiert; es geht aber auch mit 10 und 12 Zellen (bis theoretisch maximal 18 Zellen), was aber sehr selten auftaucht.

Bewertung: Hierbei gibt es 8, 10, 14, 16 Punkte entsprechend dem Typ der 6er-Ausschluss-Schleife; bei 8er-Ausschluss-Schleifen gibt es jeweils 2 Punkte mehr.

Übersicht der 6er-Ausschluss-Schleifen-Typen bei 2832 Sudokus (mit "ab" als die zwei gleichen Kandidaten):

• Typ 1:   ab - ab - ab - ab - ab - abc(de)   =>   ab streichbar bzw. c setzbar
• Typ 2:   ab - ab - ab(c) - ab(c) - abc - abc   =>   Alle anderen von (abc -) abc - abc aus sichtbaren c in Zeile/Spalte streichbar - [Relativ häufig]
• Typ 3:   ab - ab - ab - ab - abcd - abe - cde - cde   =>   Quasi-N-Tupel, z.B. cde: Alle anderen cde in betroffener Zeile bzw. Spalte und/oder Box streichbar - [Sehr selten]
• Typ 4:   ab - ab - ab - ab - abcd - abef   =>   a bzw. b streichbar, wenn nicht in gleicher Zeile/Spalte/Box

Beispiel mit Typ 1: 000000700067080001400170000920004080100009030600700920006410070800200016712653098

Beispiel mit Typ 2A: 020406709006000100709000000000010090000938072005002004060000800502000030010000000

Beispiel mit Typ 2B: 000602090070001000000000216030060720000073800081009060107528900590007600000396000

Beispiel mit Typ 2C: 000000000000000012003004000000001000004050000006000370000700400010000000250600800

Beispiel mit Typ 3: 010000600400600030600079000070000020000020003080106009000508001120000000030700000

Beispiel mit Typ 4: 000000001000000023004005000000004000030000006500007800000030000007900400010020000

Beispiel mit Typen 2A, 3 und 4: 000400080006780000000030500200690000300000057000000016502000000070010003000840000

Übersicht der 8er-Ausschluss-Schleifen-Typen bei 236 Sudokus (mit "ab" als die zwei gleichen Kandidaten):

• Typ 1:   ab - ab - ab - ab - ab - ab - ab - abc(de)   =>   ab streichbar bzw. c setzbar
• Typ 2:   ab - ab - ab - ab - ab(c) - ab(c) - abc - abc   =>   Alle anderen von (abc -) abc - abc aus sichtbaren c in Zeile/Spalte streichbar - [Relativ häufig]
• Typ 3:   ab - ab - ab - ab - ab - ab - abcd - abe - cde - cde   =>   Quasi-N-Tupel, z.B. cde: Alle anderen cde in betroffener Zeile bzw. Spalte und/oder Box streichbar - [Sehr selten]
• Typ 4:   ab - ab - ab - ab - ab - ab - abcd - abef   =>   a bzw. b streichbar, wenn nicht in gleicher Zeile/Spalte/Box

Beispiel mit Typ 1: 086002000000001906050009002503000000000000000000000189000800010302500000000100760

Beispiel mit Typ 2A: 700890204200304000304265900070050003806409051500000028000000000400007506050106002

Beispiel mit Typ 2B: 001804700003090000000000600710460000002317000364200000000072530000000104020000080

Beispiel mit Typ 2C: 000000001000000020003004000000003500010000060700080090000200003006000400500100000

Beispiel mit Typ 3: 000050000006100207089000000200000500300090000900700046030006000004200000000004961

Beispiel mit Typ 4: 100007600450000030009203000000018090030940008000000065008004000000300010002000500

Beispiel mit Typen 3 (3 Mal) und 4: 390000007004003050705000040009000000800600030406000021047280693613904002028530010

10er-, 12er- und 14er-Ausschluss-Schleifen

Da 8er-Schleifen schon recht selten sind, treten 10er-, 12er und 14er- (und längere) Schleifen in der Praxis selten auf. Der Rechenaufwand ist aber bei 8er-Schleifen schon relativ hoch; es kann daher durch einen Radio-Button festgelegt werden, dass keine 8er- und längere Schleifen gesucht werden sollen.

Mit etwas mehr Aufwand wurden auch Sudokus mit 10er-, 12er- und 14er-Ausschluss-Schleifen gefunden.

Hier einige Beispiele für einige der 55 Sudokus mit 10er-Schleifen:

10er-Schleifen-Beispiel mit Typ 1: 000050089006100000009000010200300000005000900004600750030000270000002500900040030

10er-Schleifen-Beispiel mit Typ 2A: 094831000785062100000740002000590001020016008430007000000020850010008600002000000

10er-Schleifen-Beispiel mit Typ 2B: 000000001000002003045006000000000040000073000006000850000400010020000000300010000

10er-Schleifen-Beispiel mit Typ 3: 100000000050080200700632004210063000000000000508004000000000008800900027040020036

10er-Schleifen-Beispiel mit Typ 4: 103007009450000200700000000060000000005008002000203040000090000008000030002701860

Und sogar 12er-Schleifen, aber nur Typ 2, dafür bei sogar 56 Sudokus:

12er-Schleifen-Beispiel mit Typ 2A: 000000000000000012003045000000000400060000007820100009000200000004000500030080000

12er-Schleifen-Beispiel mit Typ 2B: 000000000000000001002034000000000000030002040150600700000008000000100005074000030

12er-Schleifen-Beispiel mit Typ 2C: 000456009400000100009200000200000000300900000060000357000000600040579000000040020

Und tatsächlich ein paar 14er-Schleifen, aber auch nur Typ 2, und das bei 24 Sudokus:

14er-Schleifen-Beispiel mit Typ 2A: 000000000000000012000034000000000300001050000067100400000200070340000600800000000

14er-Schleifen-Beispiel mit Typ 2B: 000000000000001002003000040000005001004020000060000070000400890100000000500007020

Fast eine 16er-Schleife (bei 16 Sudokus):

Sudoku mit Fast-16er-Schleife mit Typ 2: 000000000000001002034000050000000006007340000280000001000500030100002000600000000
Dabei würden 3 Zellen der Schleife den Kandidaten 5 in Zeile 8 und Spalte 7 löschen - wenn nicht die Zelle in Zeile 2 und Spalte 1 die 5 hätte:
Fast-16er-Ausschluss-Schleife Typ 2B für (1:1 - 1:7 - 4:7 - 4:8 - 8:8 - 8:2 - 7:2 - 7:6 - 3:6 - 3:9 - 9:9 - 9:5 - 6:5 - 6:4 - 2:4 - 2:1)79 gefunden: Gemeinsam sichtbarer Kandidat 5 fast streichbar

Allgemeines (Stand Januar 2012)

Die Punktzahlen sind so einigermaßen den Schwierigkeitsgraden angepasst. Sie hängen aber auch, jedenfalls beim nicht-synchronen Ausünnen, von der Reihenfolge im Programm ab - so ergibt eine andere Reihenfolge im Suchen von Mustern in den Resten etwas andere Werte. Es werden alle Ausdünnschritte mitgezählt, egal, ob sie am Ende etwas bringen oder nicht. Aber das weiß man ja auch beim Lösen mit Hand vorher nicht...

Ab etwa 100 Punkten wird es interessant, über 125 Punkte ist es schon schwerer, über 150 Punkte wirklich schwer, und über 200 Punkte ist schon eine Herausforderung. Der Mittelwert aller Sudokus liegt bei den einfachen Sudokus (ohne Ausdünnung) bei 92 Punkten (maximale Anzahl bei 89 Punkten, siehe Kurve als PDF-Bild), und bei den nicht-trivialen Sudokus (mit Ausdünnung) bei 156 Punkten (maximale Anzahl bei 132 Punkten, siehe Kurve als PDF-Bild).

• Dank an Michael Jentsch: 416 Punkte (bei pseudo-synchroner Bestimmung inklusive 30 Extra-Punkten) aus 25 Zahlen - A: 5, B: 1, C: 0, D: 0, E: 28, F: 22, Ausdünnschritte: 27, Zeilen-/Spalten-Tests: 5, Box-Tests: 2, N-Tupel: 3 (Tripel), Einzelzahl-Ketten: 0, Goldene Ketten: 16 (maximal 10 lang), Ausschluss-Rechtecke: 0/0/0/1/0/0/0 - in 20.6 sec:
  507000040003100009000000800000503100002010950070004600006000000380000000009280306
• 501 Punkte (bei pseudo-synchroner Bestimmung inklusive 70 Extra-Punkten) aus 24 Zahlen A: 5, B: 1, C: 1, D: 3, E: 25, F: 22, Ausdünnschritte: 25, Zeilen-/Spalten-Tests: 4, Box-Tests: 0, N-Tupel: 4 (maximal Quadrupel), Einzelzahl-Ketten: 0, Goldene Ketten: 17 (maximal 12 lang) - in 27.4 sec:
  020000000000700023009100400000000076500230800804005000075040610000000000900008040
• Dank an Glenn Fowler, ATT: 585 Punkte (bei pseudo-synchroner Bestimmung inklusive 110 Extra-Punkten) aus 23 Zahlen - A: 7, B: 2, C: 0, D: 0, E: 29, F: 20, Ausdünnschritte: 27, Zeilen-/Spalten-Tests: 4, Box-Tests: 1, N-Tupel: 4 (maximal Quadrupel), Einzelzahl-Ketten: 1 (maximal 4 lang), Goldene Ketten: 17 (maximal 12 lang) - in 33.6 sec:
  103050000050009000080000004000060008008000072000290310004072000000004050030000800

Literatur:

Neustart

Ausgewählte (alte) Sudoku-Beispiele (von 24364 Sudokus)

Altes Programm (Loop) mit X-Wing

Nicht-synchrones Programm (Loop)

Variante mit Einbeziehung der Diagonalen

Variante: Farb-Sudoku

Kommentare bitte an Ingolf Giese